バトルフィールド4

出来ます。同じ垢で初回起動時に聞かれるので、移行を了承すれば完了。
但し以降はPS3とPS4のデータは別モノとして扱われます。

データはPSIDで管理されているので、PS3版のデータが入ったPSIDをPS4で入力しPSNへサインイン。それでPS4のBF４を起動すれば最初にデータを移行するか聞かれる。するにすれば自動でしてくれる。ちなみに移行できるのは１回のみ。データを消そうがソフトを再インストールしようが１回のみです。さらに１回移行した後はPS3とPS4間でデータ同期はされず、それぞれが別データとなるのでどちらかで解除した武器や経験値などはもう一方には反映されません。
あとはPS4からPS3へのデータ移行もできません。
PS4で新しいアカウントを作ってそれに移行するのも無理です。1人の人間がアカウントを２つ作ってもネット上では2人の扱いです。他人へデータをコピーさせることができないので。

あと多い質問として、名前（PSID）を変えれないかというもの。これも現時点で変更が出来ない。PS3版で使っていたIDが嫌で新しいIDを作ってしまうとPS4版では新規データで最初っからになります。