対処方法は、私にはわかりません。(ごめんなさい)
原因についての予想は、すでにボックスに預けたポケモンの中に、PARなどのゲーム・データを改変するための外部機器を利用して作り出した「通常ではありえないようなポケモン」がまざっていたからではないかと思います。
コードで作ったポケモンの中には、他のポケモンソフトに通信交換しようとすると「そのポケモンは送れません」という感じの文がでて、キャンセルされることがあります。これは、通常では存在しないデータについてソフトが拒否をしているのではないかと思います。
でも、私が利用した範囲では、ポケモンボックスはわりとどんなポケモンであっても、簡単に預かってくれるような気がしています。しかし、預かってしまってから「ありえないデータ」がまざっていると、なんらかの問題が発生してくる可能性があるのではないでしょうか?もしくは、今後なんらかの問題が起きるかもしれないと判断されてしまうことがあるのかもしれません。それが原因で、ボックスそのものが利用できなくなってしまうのではないでしょうか?
体験上、コードで地域のデータを変更して普通では登場しないポケモンを出してゲットしたような場合には、どのソフトにも送れますし、ボックスでも問題が起きたことはありません。
しかし、たまたま私が使用したデオキシスを出すコードでゲットしたユニットは、他のソフトに交換で送ることは不可能でした。これをボックスにあずけると、ボックスを通じて別のソフトに送ることは可能でした。ボックスの方がガードが甘いのかもしれません。
今のところ、私がコードを利用した程度のポケモンでは、ボックスに異常が起きたことはありませんが、ガードのあまいボックスに、どんなユニットでも預けられるとしたら・・・どこかで問題が起きる(使用のキャンセルとか)かもしれないという気はしています。